Stap 10: Trigonometrische combinaties aan geschatte π (deel 1)
In onze laatste stap die we geleerd hoe te gebruiken arctan(1) = π/4, maar we vonden dat het algoritme te traag was.
Het blijkt dat met behulp van sommige trigonometrische trucs we het vorige algoritme aanpassen kunnen zodat het veel sneller.
Deze stap en de volgende stap gaan in wiskundige details. U kunt deze twee stappen kunt overslaan, als u wilt springen direct naar de nieuwe algoritme.
Trigonometrie bekend is dat:
Tan (x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - (tan(x)*tan(y))
Als we vervangen door x en y met arctan(x) en arctan(y) we krijgen:
Tan(arctan(x) + arctan(y)) = (x + y) / (1 - x * y)
(Merk op dat arctan(tan(x)) is gelijk aan x). Tot slot als we arctan op beide zijden toepassen krijgen we:
arctan(x) + arctan(y) = arctan ((x + y) / (1 - x * y))
Dit geeft ons een methode voor het toevoegen van twee arctans. Vinden we waarden voor x en y zodanig dat
arctan(x) + arctan(y) = arctan(1) = π/4.
Om dit te doen we moeten:
(x + y) / (1 - x * y) = 1
wat vereenvoudigt om:
y = (1 - x)/(1+x)
Ja, arctan(x) + arctan(y) = arctan(x) + arctan ((1 - x)/(1+x))
Die geeft ons:
Π/4 = arctan(x) + arctan ((1 - x)/(1+x))
