Stap 7: Kleur in de "vulling" en informatie over de symmetriegroep
Deze kleur is bijzonder omdat het pronkt met de symmetriegroep van de shape. Een symmetrie van een shape is een paar verschillende posities die er hetzelfde uitzien. U hebt waarschijnlijk gehoord van symmetrie van de spiegel, omdat je gezicht is de spiegel links-rechts-symmetrie, maar dat is precies het soort we zal niet denken hier. Gaat om 3D draaisymmetrie. Bijvoorbeeld heeft een potlood 6-weg cyclische draaisymmetrie. Er zijn zes posities van het potlood die er hetzelfde uitzien omdat ze rotaties van elkaar (ervan uitgaande dat het potlood heeft geen markeringen). Elke vorm heeft precies één symmetriegroep.
De symmetriegroep van een shape is de set 3D rotaties, die de vorm van een bepaalde positie aannemen, aan al diegenen die zijn symmetrisch aan. Voor een potlood is dit een draaiing over de lengte van het potlood door middel van 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 en 6/6 van een volledige omwenteling. We noemen dit de cyclische groep op 6 elementen.
Voor de bal stropdas Zip is het ingewikkelder, dus we abstract de essentiële informatie om te beschrijven de symmetriegroep in termen van vijf, kleuren die ik noem 1,2,3,4, en 5. Als we de kleuren 12345 te zijn die met de klok mee rond een van de cirkels, kunt gerekend vanaf de positie van de middag (van waar kijken wij naar de vorm), we draaien de Zip Tie bal rond het rondje met de klok mee om het tonen van 51234 te maken. En vervolgens opnieuw te krijgen 45123 en opnieuw 34512, weer 23451 en opnieuw 12345. We hebben al een deelgroep ontdekt, en het is de cyclische groep op 5 elementen!
Er zijn andere symmetrieën die cirkels op cirkels kaart, en ze zijn alle een speciaal soort permutatie van de oorspronkelijke 12345, genaamd een zelfs permutatie. Het is leuk dat onze kleuren zijn genummerd, omdat een zelfs permutatie van 12345, is er een die heeft een even aantal cijfers die buiten de orde; dat wil zeggen, is de grotere aan de linkerkant. Bijvoorbeeld heeft 51342 6 paar cijfers onontvankelijk (51,53,54,52,32,42), dus het is een zelfs permutatie. De zelfs permutaties van 12345 make-up precies de helft van alle mogelijke permutaties, die in totaal 120. Daarom heeft onze Zip Tie bal precies 60 symmetrieën!
Hier is een aardige inleiding aan afwisselende groepen voor studenten van de wiskunde.
We gaan terug naar waar we rond een cirkel gedraaid. Na 5 stappen kwamen we terug naar waar we op 12345 begonnen. Aangezien deze circulaire rotaties van 1/5, die we gemaakt ons terug naar het begin bracht na 5 keer wordt toegepast, noemen we dit een element (3D-rotatie) van orde 5. We kunnen 1/3 circulaire rotaties rondom een driehoek om een element van orde 3 en 1/2 circulaire rotaties rond een diamant zijn van orde 2. Deze circulaire rotaties kunnen gecombineerd worden.
Wat doet een 1/3 rechtsom draaien dus met 12345? We moeten nu echt de bal stropdas Zip gebruiken. Eerst bepaalt u welke kleuren 12345. Ik heb rood, blauw, paars, geel, groen gekozen in de foto. Als we 1/3 met de klok mee rond de driehoek direct eronder draaien, zijn de kleuren 12345 vervangen door paars, blauw, geel, rood, groen of 32415. De kleuren niet aanraken van de driehoek (2 en 5) zijn standpunt niet veranderd!
Nu kijk op de 1/2 rotaties rond diamanten jezelf! Kun je 3D rotaties van andere bestellingen door het combineren van verschillende cyclische (cirkelvormig) rotaties?
Een andere oefening: wat gebeurt er met de kleuren rond andere cirkels wanneer u rond een cirkel draait. Bijvoorbeeld, als ik draai rond de cirkel 12345, via te 51234, wat gebeurde aan de kleuren op de cirkel 32415?
Niet tevreden? Vergeet niet dat het stuitert!
Ik ben blij met eventuele correcties en preciseringen in de commentaren hieronder. Ik ben een PhD student in de wiskunde, maar mijn kennis van symmetriegroepen is puur recreatief.
